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測地線方程式の導出

#general-relativity

測地線方程式

求める式は、

d2xμdτ2+Γμαβdxαdτdxβdτ=0 \frac{{\rm d}^2 x^\mu}{{\rm d}\tau^2} + {\Gamma^\mu}_{\alpha\beta} \frac{{\rm d}x^\alpha}{{\rm d}\tau} \frac{{\rm d}x^\beta}{{\rm d}\tau} = 0

で、ここで

Γμαβ=12gμλ(gλα,β+gλβ,α−gαβ,λ) {\Gamma^\mu}_{\alpha\beta} = \frac{1}{2} g^{\mu\lambda} ( g_{\lambda\alpha,\beta} + g_{\lambda\beta,\alpha} - g_{\alpha\beta,\lambda} )

です。このΓμαβ{\Gamma^\mu}_{\alpha\beta}をChrstoffel記号といいます。

質点の作用

質点の作用は

S[xμ]=−m∫dλ−gμνdxμdλdxνdλ S[x^\mu] = -m \int {\rm d} \lambda \sqrt{ - g_{\mu\nu} \frac{{\rm d} x^\mu}{{\rm d}\lambda} \frac{{\rm d} x^\nu}{{\rm d}\lambda} }

と表されます。ここで mm は質点の質量、λ\lambda は経路を指定する任意のパラメータです（x˙μ≡dxμ/dλ\dot{x}^\mu \equiv {\rm d}x^\mu/{\rm d}\lambda）。作用の値は経路に沿った固有時の長さそのものです。

固有時 τ\tau は線素 ds{\rm d}s を用いて

dτ2=−ds2=−gμνdxμdxν {\rm d}\tau^2 = - {\rm d}s^2 = - g_{\mu\nu} {\rm d}x^\mu {\rm d}x^\nu

で定義されます。λ=τ\lambda = \tau と選べば −x˙2=1\sqrt{-\dot{x}^2} = 1 が成立しますが、これは変分を実行した後に行う操作です。ここで、gμνg_{\mu\nu}は計量テンソルの成分です。

変分をとる

通常、Euler-Lagrange方程式を得るには、

ddt(∂L∂q˙s)−∂L∂qs=0 \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^s} \right) - \frac{\partial L}{\partial q^s} = 0

について、LLを具体的に指定して計算すればいいです。

しかし、一般相対性理論の計算においては、表面項をテクニカルに計算することがあるので、変分の定義を愚直に計算するほうが、見通しがいい場合があります。今回は愚直に変分を実行します。

加速度系の座標xμx^\muの変分δxμ\delta x^\muを考慮すると、δS[xμ]=S[xμ+δxμ]−S[xμ]\delta S[x^\mu] = S[x^\mu + \delta x^\mu] - S[x^\mu]は

δS[xμ]=−m∫dλ[−gμν(x+δx)(xμ+δxμ)⋅(xν+δxν)⋅]1/2−S[xμ]=−m∫dλ[−(gμν+gμν,αδxα)(x˙μx˙ν+2x˙μδx˙ν)+O(δx2)]1/2−S[xμ]=−m∫dλ[−gμνx˙μx˙ν−2gμνx˙μδx˙ν−gμν,αx˙μx˙νδxα+O(δx2)]1/2−S[xμ]=−m∫dλ −x˙2[1−2gμνx˙μδx˙ν+gμν,αx˙μx˙νδxα−x˙2+O(δx2)]1/2−S[xμ]=m2∫dλ 2gμνx˙μδx˙ν+gμν,αx˙μx˙νδxα−x˙2+O(δx2)\begin{align} \delta S[x^\mu] &= -m \int {\rm d} \lambda [ -g_{\mu\nu}(x + \delta x) (x^\mu + \delta x^\mu)^\cdot (x^\nu + \delta x^\nu)^\cdot ]^{1/2} - S[x^\mu] \notag \\ &= -m \int {\rm d} \lambda [ - (g_{\mu\nu} + g_{\mu\nu, \alpha} \delta x^\alpha) (\dot{x}^\mu \dot{x}^\nu + 2\dot{x}^\mu \delta \dot{x}^\nu) + {\cal O}(\delta x^2) ]^{1/2} - S[x^\mu] \notag \\ &= -m \int {\rm d} \lambda [ - g_{\mu\nu} \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu - 2 g_{\mu\nu} \dot{x}^\mu \delta \dot{x}^\nu - g_{\mu\nu, \alpha} \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu \delta x^\alpha + {\cal O}(\delta x^2) ]^{1/2} - S[x^\mu] \notag \\ &= -m \int {\rm d} \lambda\, \sqrt{- \dot{x}^2} \left[ 1 - \frac{ 2 g_{\mu\nu} \dot{x}^\mu \delta \dot{x}^\nu + g_{\mu\nu, \alpha} \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu \delta x^\alpha }{ - \dot{x}^2 } + {\cal O}(\delta x^2) \right]^{1/2} - S[x^\mu] \notag \\ &= \frac{m}{2} \int {\rm d} \lambda\, \frac{ 2 g_{\mu\nu} \dot{x}^\mu \delta \dot{x}^\nu + g_{\mu\nu, \alpha} \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu \delta x^\alpha }{ \sqrt{- \dot{x}^2} } + \mathcal{O}(\delta x^2) \end{align}

以降、δx\delta xの2次の項は無視します。また、簡単な記法のために、任意の４元ベクトルの成分AμA^\muに対して、gμνAμAν=A2g_{\mu\nu} A^\mu A^\nu = A^2と表記しています。

λ\lambdaの選択

λ\lambda として固有時 τ\tau を選べます。すなわち gμνx˙μx˙ν=−1g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu = -1、つまり −x˙2=1\sqrt{-\dot{x}^2} = 1 とおきます（以降 x˙μ≡dxμ/dτ\dot{x}^\mu \equiv {\rm d}x^\mu/{\rm d}\tau）。これを代入すると、

δS=m∫dτ(gμνx˙μδx˙ν+12gμν,αx˙μx˙νδxα) \delta S = m \int {\rm d}\tau \left( g_{\mu\nu} \dot{x}^\mu \delta\dot{x}^\nu + \frac{1}{2} g_{\mu\nu,\alpha} \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu \delta x^\alpha \right)

部分積分

第1項について、δx˙ν=ddτδxν\delta\dot{x}^\nu = \frac{\rm d}{{\rm d}\tau}\delta x^\nuとして部分積分を行います。端点ではδxν=0\delta x^\nu = 0なので表面項は消え、

∫dτ gμνx˙μδx˙ν=−∫dτ ddτ(gμνx˙μ) δxν \int {\rm d}\tau\, g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu \delta\dot{x}^\nu = - \int {\rm d}\tau\, \frac{\rm d}{{\rm d}\tau}(g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu)\, \delta x^\nu

となります。ここで、

ddτ(gμνx˙μ)=gμν,αx˙αx˙μ+gμνx¨μ \frac{\rm d}{{\rm d}\tau}(g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu) = g_{\mu\nu,\alpha}\dot{x}^\alpha \dot{x}^\mu + g_{\mu\nu}\ddot{x}^\mu

です。第2項のダミー添字を(μ,ν,α)→(μ,α,ν)(\mu,\nu,\alpha) \to (\mu,\alpha,\nu)と付け替えると、

δS=m∫dτ[−gμνx¨μ−gμν,αx˙αx˙μ+12gμα,νx˙μx˙α]δxν \delta S = m \int {\rm d}\tau \left[ - g_{\mu\nu}\ddot{x}^\mu - g_{\mu\nu,\alpha}\dot{x}^\alpha \dot{x}^\mu + \frac{1}{2} g_{\mu\alpha,\nu} \dot{x}^\mu \dot{x}^\alpha \right] \delta x^\nu

対称化

x˙μx˙α\dot{x}^\mu\dot{x}^\alphaはμ↔α\mu \leftrightarrow \alphaについて対称なので、

gμν,αx˙αx˙μ=12(gμν,α+gαν,μ)x˙μx˙α g_{\mu\nu,\alpha}\dot{x}^\alpha\dot{x}^\mu = \frac{1}{2}(g_{\mu\nu,\alpha} + g_{\alpha\nu,\mu})\dot{x}^\mu\dot{x}^\alpha

と書き直せます。代入して整理すると、

δS=m∫dτ[−gμνx¨μ−12(gμν,α+gαν,μ−gμα,ν)x˙μx˙α]δxν=0 \delta S = m \int {\rm d}\tau \left[ - g_{\mu\nu}\ddot{x}^\mu - \frac{1}{2}(g_{\mu\nu,\alpha} + g_{\alpha\nu,\mu} - g_{\mu\alpha,\nu}) \dot{x}^\mu\dot{x}^\alpha \right] \delta x^\nu = 0

δxν\delta x^\nuは任意なので、

gμνx¨μ+12(gμν,α+gαν,μ−gμα,ν)x˙μx˙α=0 g_{\mu\nu}\ddot{x}^\mu + \frac{1}{2}(g_{\mu\nu,\alpha} + g_{\alpha\nu,\mu} - g_{\mu\alpha,\nu}) \dot{x}^\mu\dot{x}^\alpha = 0

計量をかける

両辺にgνλg^{\nu\lambda}をかけ、gνλgμν=δμλg^{\nu\lambda}g_{\mu\nu} = \delta^\lambda_\muを使うと、

x¨λ+12gνλ(gμν,α+gαν,μ−gμα,ν)⏟=Γλμαx˙μx˙α=0 \ddot{x}^\lambda + \underbrace{ \frac{1}{2}g^{\nu\lambda} (g_{\mu\nu,\alpha} + g_{\alpha\nu,\mu} - g_{\mu\alpha,\nu}) }_{= {\Gamma^\lambda}_{\mu\alpha}} \dot{x}^\mu\dot{x}^\alpha = 0

括弧内の12gνλ(⋯ )\frac{1}{2}g^{\nu\lambda}(\cdots)はChristoffel記号Γλμα{\Gamma^\lambda}_{\mu\alpha}そのものです。よって、

x¨λ+Γλμαx˙μx˙α=0 \ddot{x}^\lambda + {\Gamma^\lambda}_{\mu\alpha}\dot{x}^\mu\dot{x}^\alpha = 0

これが測地線方程式となります。■\blacksquare

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