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バイスペクトル（Bispectrum）の計算

#宇宙論

局所型のバイスペクトルを求める

この記事では局所型（local-type）のバイスペクトル（bispectrum）

Bζ(local)(k1,k2,k3)=65fNL(local)[P(k1)P(k2)+P(k2)P(k3)+P(k3)P(k1)] B_\zeta^{\rm (local)}(k_1, k_2, k_3) = \frac{6}{5} f^{\rm (local)}_{\rm NL} [P(k_1) P(k_2) + P(k_2) P(k_3) + P(k_3) P(k_1)]

を示します。

準備

曲率ゆらぎ

ある点xi\mathbf{x}_iにおける曲率ゆらぎζ(xi)\zeta(\mathbf{x}_i)を期待値00のガウス分布に従うゆらぎζg(xi)\zeta_g(\mathbf{x}_i)を用いて、２次ののオーダーで表現できているとします。すなわち、

ζ(xi)=ζg(xi)+35fNL(local)ζg(xi)2\begin{align} \zeta(\mathbf{x}_i) &= \zeta_g(\mathbf{x}_i) + \frac{3}{5} f_{\rm NL}^{\rm (local)} \zeta_g(\mathbf{x}_i)^2 \end{align}

とします。

パワースペクトル

曲率ゆらぎζ(xi)\zeta(\mathbf{x}_i)のフーリエ成分をζki\zeta_{\mathbf{k}_i}として

⟨ζk1ζk2⟩c=(2π)3Pζ(k1)δ3(k1+k2) \braket{\zeta_{\mathbf{k}_1} \zeta_{\mathbf{k}_2}}_c = (2\pi)^3 P_\zeta(k_1) \delta^3(\mathbf{k}_1 + \mathbf{k}_2)

とします。ここでPζ(k)P_\zeta(k)はパワースペクトルです。また、下付き添え字のccはキュムラントを表すことを示すものです。

バイスペクトル

⟨ζk1ζk2ζk3⟩c=(2π)6Bζ(k1,k2,k3)δ3(k1+k2+k3) \braket{\zeta_{\mathbf{k}_1} \zeta_{\mathbf{k}_2} \zeta_{\mathbf{k}_3}}_c = (2\pi)^6 B_\zeta(k_1, k_2, k_3) \delta^3(\mathbf{k}_1 + \mathbf{k}_2 + \mathbf{k}_3)

とします。ここでBζ(k1,k2,k3)B_\zeta(k_1, k_2, k_3)はバイスペクトルです。

その他、暗に使うこと

  • ガウス分布のモーメントは奇数次の項が0となること
  • ガウス分布のキュムラントは2次までしかなく、3次以上は0になること

方針

バイスペクトルは曲率ゆらぎのキュムラントで表されています。曲率ゆらぎはほぼガウス分布であり、２通りの方法で表現します。すなわち、

  • ガウス分布で表現してからキュムラント展開
  • キュムラントで表現してからガウス分布で表現

で表現し、これらが等しいという関係を用います。最後にフーリエ変換をすれば求める式が現れます。パワースペクトル、バイスペクトルの定義にデルタ関数が現れるので、計算を進めすぎてデルタ関数を消さないように注意しましょう。デルタ関数をあえて残すことで、比較が容易になります。

計算

ガウス分布で表現してキュムラント展開

まずは曲率ゆらぎの3次のモーメントを、(1)で展開してみます。愚直に計算しましょう。すると、

⟨ζ(x1)ζ(x2)ζ(x3)⟩=⟨(ζg(x1)+35fNL(local)ζg(x1)2)(ζg(x2)+35fNL(local)ζg(x2)2)(ζg(x3)+35fNL(local)ζg(x3)2)⟩=⟨ζg(x1)ζg(x2)ζg(x3)+35fNL(local)(ζg(x1)2ζg(x2)ζg(x3)+ζg(x1)ζg(x2)2ζg(x3)+ζg(x1)ζg(x2)ζg(x3)2)+925(fNL(local))2(ζg(x1)ζg(x2)2ζg(x3)2+perms.)+27125(fNL(local))3(ζg(x1)2ζg(x2)2ζg(x3)2)⟩\begin{align} \braket{ \zeta({\mathbf{x}_1}) \zeta({\mathbf{x}_2}) \zeta({\mathbf{x}_3}) } &= \Braket{ \left( \zeta_{g}(\mathbf{x}_1) + \frac{3}{5} f_{\rm NL}^{\rm (local)} \zeta_{g}(\mathbf{x}_1)^2 \right) \left( \zeta_{g}(\mathbf{x}_2) + \frac{3}{5} f_{\rm NL}^{\rm (local)} \zeta_{g}(\mathbf{x}_2)^2 \right) \left( \zeta_{g}(\mathbf{x}_3) + \frac{3}{5} f_{\rm NL}^{\rm (local)} \zeta_{g}(\mathbf{x}_3)^2 \right) } \notag \\ &= \bigg\langle \zeta_{g}(\mathbf{x}_1) \zeta_{g}(\mathbf{x}_2) \zeta_{g}(\mathbf{x}_3) \notag \\ &\qquad + \frac{3}{5} f_{\rm NL}^{\rm (local)} \left( \zeta_{g}(\mathbf{x}_1)^2 \zeta_{g}(\mathbf{x}_2) \zeta_{g}(\mathbf{x}_3) + \zeta_{g}(\mathbf{x}_1) \zeta_{g}(\mathbf{x}_2)^2 \zeta_{g}(\mathbf{x}_3) + \zeta_{g}(\mathbf{x}_1) \zeta_{g}(\mathbf{x}_2) \zeta_{g}(\mathbf{x}_3)^2 \right) \notag \\ &\qquad + \frac{9}{25} \left( f_{\rm NL}^{\rm (local)} \right)^2 \left( \zeta_{g}(\mathbf{x}_1) \zeta_{g}(\mathbf{x}_2)^2 \zeta_{g}(\mathbf{x}_3)^2 + \text{perms.} \right) \notag \\ &\qquad + \frac{27}{125}\left(f_{\rm NL}^{\rm (local)} \right)^3 \left( \zeta_{g}(\mathbf{x}_1)^2 \zeta_{g}(\mathbf{x}_2)^2 \zeta_{g}(\mathbf{x}_3)^2 \right) \bigg\rangle \end{align}

となります。ここで、1行目の項は奇数次なので0となり、3行目の項も同様に0となります。また、最後の項はガウス分布のキュムラント展開を考えると⟨ζζ⟩c⟨ζζ⟩c⟨ζζ⟩c\braket{\zeta \zeta}_c\braket{\zeta \zeta}_c\braket{\zeta \zeta}_cという形式で現れます。これはPζ(k)P_\zeta(k)の3乗に比例する項なので、いま考える領域では無視できます。よって、

⟨ζ(x1)ζ(x2)ζ(x3)⟩=35fNL(local)(⟨ζg2(x1)ζg(x2)ζg(x3)⟩+⟨ζg(x1)ζg2(x2)ζg(x3)⟩+⟨ζg(x1)ζg(x2)ζg2(x3)⟩)\begin{align} \braket{\zeta(\mathbf{x}_1)\zeta(\mathbf{x}_2)\zeta(\mathbf{x}_3)} &= \frac{3}{5} f_{\rm NL}^{\rm (local)} \left( \braket{\zeta_g^2(\mathbf{x}_1)\zeta_g(\mathbf{x}_2)\zeta_g(\mathbf{x}_3)} + \braket{\zeta_g(\mathbf{x}_1)\zeta_g^2(\mathbf{x}_2)\zeta_g(\mathbf{x}_3)} + \braket{\zeta_g(\mathbf{x}_1)\zeta_g(\mathbf{x}_2)\zeta_g^2(\mathbf{x}_3)} \right) \end{align}

次に、残った各項にたいしてキュムラント展開を施します。ガウス分布のキュムラント展開は2次までしかなく、ガウス分布をg(xi)g(\mathbf{x}_i)とすると、次のように展開できます。

⟨g(x1)g(x2)g(x3)g(x4)⟩=⟨g(x1)g(x2)⟩c⟨g(x3)g(x4)⟩c+⟨g(x1)g(x3)⟩c⟨g(x2)g(x4)⟩c+⟨g(x1)g(x4)⟩c⟨g(x2)g(x3)⟩c \begin{align} \braket{ g(\mathbf{x}_1) g(\mathbf{x}_2) g(\mathbf{x}_3) g(\mathbf{x}_4) } &= \braket{g(\mathbf{x}_1)g(\mathbf{x}_2)}_c \braket{g(\mathbf{x}_3)g(\mathbf{x}_4)}_c \notag \\ &\quad + \braket{g(\mathbf{x}_1)g(\mathbf{x}_3)}_c \braket{g(\mathbf{x}_2)g(\mathbf{x}_4)}_c \notag \\ &\quad + \braket{g(\mathbf{x}_1)g(\mathbf{x}_4)}_c \braket{g(\mathbf{x}_2)g(\mathbf{x}_3)}_c \end{align}

これを例えば(3)の1項目に適用すると、

⟨ζg2(x1)ζg(x2)ζg(x3)⟩=⟨ζg2(x1)⟩c⟨ζg(x2)ζg(x3)⟩c+2⟨ζg(x1)ζg(x2)⟩c⟨ζg(x1)ζg(x3)⟩c \begin{align} \braket{\zeta_g^2(\mathbf{x}_1)\zeta_g(\mathbf{x}_2)\zeta_g(\mathbf{x}_3)} &= \braket{\zeta_g^2(\mathbf{x}_1)}_c \braket{\zeta_g(\mathbf{x}_2) \zeta_g(\mathbf{x}_3)}_c + 2 \braket{\zeta_g(\mathbf{x}_1)\zeta_g(\mathbf{x}_2)}_c \braket{\zeta_g(\mathbf{x}_1)\zeta_g(\mathbf{x}_3)}_c \end{align}

とできます。(3)の各項に同様の計算を適用すれば、(3)は

⟨ζ(x1)ζ(x2)ζ(x3)⟩=35fNL(local)(⟨ζg2(x1)⟩c⟨ζg(x2)ζg(x3)⟩c+⟨ζg2(x2)⟩c⟨ζg(x3)ζg(x1)⟩c+⟨ζg2(x3)⟩c⟨ζg(x1)ζg(x2)⟩c)+65fNL(local)(⟨ζg(x1)ζg(x2)⟩c⟨ζg(x1)ζg(x3)⟩c+⟨ζg(x2)ζg(x3)⟩c⟨ζg(x2)ζg(x1)⟩c+⟨ζg(x3)ζg(x1)⟩c⟨ζg(x3)ζg(x2)⟩c) \begin{align} &\braket{\zeta(\mathbf{x}_1)\zeta(\mathbf{x}_2)\zeta(\mathbf{x}_3)} \notag \\ &= \frac{3}{5} f_{\rm NL}^{\rm (local)} ( \braket{\zeta_g^2(\mathbf{x}_1)}_c \braket{\zeta_g(\mathbf{x}_2) \zeta_g(\mathbf{x}_3)}_c + \braket{\zeta_g^2(\mathbf{x}_2)}_c \braket{\zeta_g(\mathbf{x}_3) \zeta_g(\mathbf{x}_1)}_c + \braket{\zeta_g^2(\mathbf{x}_3)}_c \braket{\zeta_g(\mathbf{x}_1) \zeta_g(\mathbf{x}_2)}_c ) \notag \\ &\quad + \frac{6}{5} f_{\rm NL}^{\rm (local)} ( \braket{ \zeta_g (\mathbf{x}_1) \zeta_g (\mathbf{x}_2) }_c \braket{ \zeta_g (\mathbf{x}_1) \zeta_g (\mathbf{x}_3) }_c + \braket{ \zeta_g (\mathbf{x}_2) \zeta_g (\mathbf{x}_3) }_c \braket{ \zeta_g (\mathbf{x}_2) \zeta_g (\mathbf{x}_1) }_c + \braket{ \zeta_g (\mathbf{x}_3) \zeta_g (\mathbf{x}_1) }_c \braket{ \zeta_g (\mathbf{x}_3) \zeta_g (\mathbf{x}_2) }_c ) \end{align}

を得ます。

キュムラント展開してガウス分布で表現

逆に、3次の⟨ζ(x1)ζ(x2)ζ(x3)⟩\braket{\zeta(\mathbf{x}_1) \zeta(\mathbf{x}_2) \zeta(\mathbf{x}_3)}を先にキュムラント展開して、ガウス分布で表現してみましょう。ガウス分布であるという性質は使えないので、素のキュムラント展開をすると、

⟨ζ(x1)ζ(x2)ζ(x3)⟩=⟨ζg(x1)ζg(x2)ζg(x3)⟩c+⟨ζg(x1)⟩c⟨ζg(x2)ζg(x3)⟩c+⟨ζg(x2)⟩c⟨ζg(x3)ζg(x1)⟩c+⟨ζg(x3)⟩c⟨ζg(x1)ζg(x2)⟩c\begin{align} \braket{\zeta(\mathbf{x}_1) \zeta(\mathbf{x}_2) \zeta(\mathbf{x}_3)} &= \braket{ \zeta_g(\mathbf{x}_1) \zeta_g(\mathbf{x}_2) \zeta_g(\mathbf{x}_3) }_c \notag \\ &\quad + \braket{ \zeta_g(\mathbf{x}_1) }_c \braket{ \zeta_g(\mathbf{x}_2) \zeta_g(\mathbf{x}_3) }_c + \braket{ \zeta_g(\mathbf{x}_2) }_c \braket{ \zeta_g(\mathbf{x}_3) \zeta_g(\mathbf{x}_1) }_c + \braket{ \zeta_g(\mathbf{x}_3) }_c \braket{ \zeta_g(\mathbf{x}_1) \zeta_g(\mathbf{x}_2) }_c \end{align}

となります。これをガウス分布で表現すると、偶数次しか残らない条件と、ζ\zetaの4次までしか取らない条件から

⟨ζ(x1)ζ(x2)ζ(x3)⟩=⟨ζg(x1)ζg(x2)ζg(x3)⟩c+35fNL(local)(⟨ζg2(x1)⟩c⟨ζg(x2)ζg(x3)⟩c+⟨ζg2(x2)⟩c⟨ζg(x3)ζg(x1)⟩c+⟨ζg2(x3)⟩c⟨ζg(x1)ζg(x2)⟩c) \begin{align} \braket{\zeta(\mathbf{x}_1) \zeta(\mathbf{x}_2) \zeta(\mathbf{x}_3)} &= \braket{ \zeta_g(\mathbf{x}_1) \zeta_g(\mathbf{x}_2) \zeta_g(\mathbf{x}_3) }_c \notag \\ &\quad + \frac{3}{5} f_{\rm NL}^{\rm (local)} ( \braket{\zeta_g^2(\mathbf{x}_1)}_c \braket{\zeta_g(\mathbf{x}_2) \zeta_g(\mathbf{x}_3)}_c + \braket{\zeta_g^2(\mathbf{x}_2)}_c \braket{\zeta_g(\mathbf{x}_3) \zeta_g(\mathbf{x}_1)}_c + \braket{\zeta_g^2(\mathbf{x}_3)}_c \braket{\zeta_g(\mathbf{x}_1) \zeta_g(\mathbf{x}_2)}_c ) \end{align}

となります。

両者を比較する

先の節で得た最後の式は、(6)式の係数が3/53/5の項たちに一致します。よって、両者を比較して、3次のキュムラント

⟨ζg(x1)ζg(x2)ζg(x3)⟩c=65fNL(local)(⟨ζg(x1)ζg(x2)⟩c⟨ζg(x1)ζg(x3)⟩c+⟨ζg(x2)ζg(x3)⟩c⟨ζg(x2)ζg(x1)⟩c+⟨ζg(x3)ζg(x1)⟩c⟨ζg(x3)ζg(x2)⟩c) \begin{align} \braket{ \zeta_g (\mathbf{x}_1) \zeta_g (\mathbf{x}_2) \zeta_g (\mathbf{x}_3) }_c = \frac{6}{5} f_{\rm NL}^{\rm (local)} ( \braket{ \zeta_g (\mathbf{x}_1) \zeta_g (\mathbf{x}_2) }_c \braket{ \zeta_g (\mathbf{x}_1) \zeta_g (\mathbf{x}_3) }_c + \braket{ \zeta_g (\mathbf{x}_2) \zeta_g (\mathbf{x}_3) }_c \braket{ \zeta_g (\mathbf{x}_2) \zeta_g (\mathbf{x}_1) }_c + \braket{ \zeta_g (\mathbf{x}_3) \zeta_g (\mathbf{x}_1) }_c \braket{ \zeta_g (\mathbf{x}_3) \zeta_g (\mathbf{x}_2) }_c ) \end{align}

フーリエ変換する

(9)の左辺をフーリエ変換すると

⟨ζ(x1)ζ(x2)ζ(x3)⟩=∫d3k1d3k2d3k3(2π)9e−i(k1⋅x1+k2⋅x2+k3⋅x3)⟨ζk1ζk2ζk3⟩c\begin{align} \braket{ \zeta(\mathbf{x}_1) \zeta(\mathbf{x}_2) \zeta(\mathbf{x}_3) } &= \int \frac{d^3k_1 d^3k_2 d^3k_3}{(2\pi)^9} e^{-i (\mathbf{k}_1 \cdot \mathbf{x}_1 + \mathbf{k}_2 \cdot \mathbf{x}_2 + \mathbf{k}_3 \cdot \mathbf{x}_3)} \braket{ \zeta_{\mathbf{k}_1} \zeta_{\mathbf{k}_2} \zeta_{\mathbf{k}_3} }_c \end{align}

です。積分の中のキュムラントはバイスペクトルの定義から

⟨ζ(x1)ζ(x2)ζ(x3)⟩=∫d3k1d3k2d3k3(2π)6e−i(k1⋅x1+k2⋅x2+k3⋅x3)Bζ(k1,k2,k3)δ3(k1+k2+k3)\begin{align} \braket{ \zeta(\mathbf{x}_1) \zeta(\mathbf{x}_2) \zeta(\mathbf{x}_3) } &= \int \frac{d^3k_1 d^3k_2 d^3k_3}{(2\pi)^6} e^{-i (\mathbf{k}_1 \cdot \mathbf{x}_1 + \mathbf{k}_2 \cdot \mathbf{x}_2 + \mathbf{k}_3 \cdot \mathbf{x}_3)} B_\zeta(k_1, k_2, k_3) \delta^3 (\mathbf{k}_1 + \mathbf{k}_2 + \mathbf{k}_3) \end{align}

と表されます。

一方、(9)の右辺をフーリエ変換しましょう。いきなり積分すると大変なので、まずは

⟨ζg(x1)ζg(x2)⟩c=∫d3k1d3k2(2π)6e−i(k1⋅x1+k2⋅x2)⟨ζk1ζk2⟩c=∫d3k1d3k2(2π)3e−i(k1⋅x1+k2⋅x2)Pζ(k2)δ3(k1+k2)\begin{align} \braket{\zeta_g(\mathbf{x}_1) \zeta_g(\mathbf{x}_2)}_c &= \int \frac{d^3k_1 d^3k_2}{(2\pi)^6} e^{-i (\mathbf{k}_1 \cdot \mathbf{x}_1 + \mathbf{k}_2 \cdot \mathbf{x}_2)} \braket{\zeta_{\mathbf{k}_1} \zeta_{\mathbf{k}_2}}_c \notag \\ &= \int \frac{d^3k_1 d^3k_2}{(2\pi)^3} e^{-i (\mathbf{k}_1 \cdot \mathbf{x}_1 + \mathbf{k}_2 \cdot \mathbf{x}_2)} P_\zeta(k_2) \delta^3 (\mathbf{k}_1 + \mathbf{k}_2) \end{align}

です。よって、

⟨ζg(x1)ζg(x2)⟩c⟨ζg(x1)ζg(x3)⟩c=∫d3k1d3k1′d3k2d3k2(2π)6e−i((k1+k1′)⋅x1+k2⋅x2+k3⋅x3)Pζ(k2)Pζ(k3)δ3(k1+k2)δ3(k1′+k3)\begin{align} \braket{\zeta_g(\mathbf{x}_1) \zeta_g(\mathbf{x}_2)}_c \braket{\zeta_g(\mathbf{x}_1) \zeta_g(\mathbf{x}_3)}_c &= \int \frac{d^3k_1 d^{3}k^\prime_1 d^3k_2 d^3k_2 }{(2\pi)^6} e^{-i ((\mathbf{k}_1 + \mathbf{k}^\prime_1) \cdot \mathbf{x}_1 + \mathbf{k}_2 \cdot \mathbf{x}_2 + \mathbf{k}_3 \cdot \mathbf{x}_3)} P_\zeta(k_2) P_\zeta(k_3) \delta^3 (\mathbf{k}_1 + \mathbf{k}_2) \delta^3 (\mathbf{k}^\prime_1 + \mathbf{k}_3) \end{align}

となります。ここでk1,k1′\mathbf{k}_1, \mathbf{k}_1^\primeは積分変数として重複してしまったので文字を変更しました。 変数変換p1=k1+k1′\mathbf{p}_1 = \mathbf{k}_1 + \mathbf{k}^\prime_1、p2=k2\mathbf{p}_2 = \mathbf{k}_2、p3=k3\mathbf{p}_3 = \mathbf{k}_3を行い、k1′=p1−k1\mathbf{k}_1^\prime = \mathbf{p}_1 - \mathbf{k}_1を消去すると

⟨ζg(x1)ζg(x2)⟩c⟨ζg(x1)ζg(x3)⟩c=∫d3p1d3p2d3p3(2π)3e−i(p1⋅x1+p2⋅x2+p3⋅x3)Pζ(p2)Pζ(p3)δ3(p1+p2+p3)\begin{align} \braket{\zeta_g(\mathbf{x}_1) \zeta_g(\mathbf{x}_2)}_c \braket{\zeta_g(\mathbf{x}_1) \zeta_g(\mathbf{x}_3)}_c &= \int \frac{d^3p_1 d^3p_2 d^3p_3}{(2\pi)^3} e^{-i (\mathbf{p}_1 \cdot \mathbf{x}_1 + \mathbf{p}_2 \cdot \mathbf{x}_2 + \mathbf{p}_3 \cdot \mathbf{x}_3)} P_\zeta(p_2) P_\zeta(p_3) \delta^3 (\mathbf{p}_1 + \mathbf{p}_2 + \mathbf{p}_3) \end{align}

となりました。同様に他の項も計算すればよく、(9)に再び代入して被積分関数を比較すれば

Bζ(local)(k1,k2,k3)=65fNL(local)[P(k1)P(k2)+P(k2)P(k3)+P(k3)P(k1)] B_\zeta^{\rm (local)}(k_1, k_2, k_3) = \frac{6}{5} f^{\rm (local)}_{\rm NL} [P(k_1) P(k_2) + P(k_2) P(k_3) + P(k_3) P(k_1)]

と、私たちが求めたい式を導出できました。

参考

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