はじめに

この記事は統計学入門¹のを読んだことをまとめた振り返り記事です。

問題

二つのつぼ$A, B$の中に３個のボールを投げ入れる。つぼ$A$の中にはいったボールの数を$X$、ボールの入っているつぼの数を$Y$とするとき、$X, Y$の同時確率分布を求めて、$X, Y$は無相関であるが、独立ではないことを示せ。

解答

ボール3つそれぞれについて$A$に入る、入らないという事象があるため、 $AAA, AAB, ABA, ABB, BAB, BAA, BBA, BBB$という8つの可能性が考えられます。一方、$Y$はボールが入っているつぼの数であるから、8つの可能性のうち、$Y = 1$となるのは$AAA, BBB$のとき、$Y = 2$はそれ以外の場合となります。よって同時確率分布は

$$\begin{array}{c|cc|c} & Y = 1 & Y = 2 & Y \\ \hline X = 0 & \frac{1}{8} & 0 & \frac{1}{8} \\ X = 1 & 0 & \frac{3}{8} & \frac{3}{8} \\ X = 2 & 0 & \frac{3}{8} & \frac{3}{8} \\ X = 3 & \frac{1}{8} & 0 & \frac{1}{8} \\ \hline X & \frac{1}{4} & \frac{3}{4} & 1 \\ \end{array}$$

となります。

ここで、

$$P(X = 0, Y = 1) = \frac{1}{8} \neq P(X = 0) P(Y = 1) = \frac{1}{32}$$

であるため、2つの事象は独立ではありません。

一方、期待値を考えると

$$\begin{align*} E[X] &= \frac{3}{2} \\[8pt] E[Y] &= \frac{7}{4} \\[8pt] E[XY] &= \frac{21}{8} \end{align*}$$

であるので、共分散が

$${\rm Cov}[X, Y] = E[XY] - E[X]E[Y] = \frac{21}{8} - \frac{3}{2} \cdot \frac{7}{4} = 0$$

となるため、2つの事象は無相関です。

参考文献

リポジトリ

Footnotes

1. 統計学入門　東京大学教養学部統計学教室編 東京大学出版会 ↩