はじめに

この記事は統計学入門¹のを読んだことをまとめた振り返り記事です。

問題

二つの確率変数$R_1, R_2$があり、$E[R_1] = e_1, V[R_1] = \sigma_1^2, E[R_2] = e_2, V[R_2] = \sigma_2^2$、$R_1, R_2$の相関係数を$\rho$とする。$0 \leq x \leq 1$に対して、確率変数

$$R_p = xR_1 + (1-x)R_2$$

を定義する。

i) $R_p$の期待値$E[R_p]$、分散$V[R_p]$を求めよ。
ii) $V[R_p]$の最小値を求めよ。
iii) $e_1 = 0.198, \sigma_1 = 0.357, e_2 = 0.055, \sigma_2 = 0.203, \rho = 0.18$のとき、$E[R_p], V[R_p]$を$x$の関数としてグラフにせよ。

解答

i)

期待値は

$$\begin{align*} E[R_p] &= E[xR_1 + (1-x)R_2] \\ &= xE[R_1] + (1-x)E[R_2] \\ &= xe_1 + (1-x)e_2 \end{align*}$$

分散は

$$\begin{align*} V[R_p] &= E[(x R_1 + (1 - x)R_2)^2] - (E[x R_1 + (1 - x)R_2])^2 \\[8pt] &= E[ x^2 R_1^2 + 2x(1 - x) R_1 R_2 + (1 - x)^2 R_2^2 ] \\[8pt] &\qquad - ( x^2 E[R_1]^2 + 2 x (1 - x) E[R_1] E[R_2] + (1 - x)^2 E[R_2]^2 ) \\[8pt] &= x^2 (E[R_1] - E[R_2])^2 + (1 - x)^2 (E[R_2] - E[R_1])^2 \\[8pt] &\qquad + 2x (1 - x) (E[R_1 R_2] - E[R_1] E[R_2]) \\[8pt] &= x^2 \sigma_1^2 + (1 - x)^2 \sigma_2^2 + 2x (1 - x) \rho \sigma_1 \sigma_2 \end{align*}$$

ii)

$x$の2次間数とみなします：

$$\begin{align*} V[R_p] &= x^2 \sigma_1^2 + (1 - x)^2 \sigma_2^2 + 2x (1 - x) \rho \sigma_1 \sigma_2 \\[8pt] &= (\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\rho \sigma_1 \sigma_2) x^2 + 2 2\sigma_2(\rho \sigma_1 - \sigma_2) x + \sigma_2^2 \\[8pt] &= (\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\rho \sigma_1 \sigma_2) \left\{ x^2 + 2 \frac{ \sigma_2 (\rho \sigma_1 - \sigma_2) }{ \sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2 \rho \sigma_1 \sigma_2 } x \right\} + \sigma_2^2 \\[8pt] &= (\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\rho \sigma_1 \sigma_2) \left\{ x + \frac{ \sigma_2 (\rho \sigma_1 - \sigma_2) }{ \sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2 \rho \sigma_1 \sigma_2 } \right\}^2 - \frac{ \sigma_2^2 (\rho \sigma_1 - \sigma_2)^2 }{ \sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2 \rho \sigma_1 \sigma_2 } + \sigma_2^2 \end{align*}$$

と平方完成できます。最後の2つの定数項はまとめると

$$\begin{align*} - \frac{ \sigma_2^2 (\rho \sigma_1 - \sigma_2)^2 }{ \sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2 \rho \sigma_1 \sigma_2 } + \sigma_2^2 = \frac{ (1 - \rho)^2 \sigma_1^2 \sigma_2^2 }{ \sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2 \rho \sigma_1 \sigma_2 } \end{align*}$$

です。よって$x$の2次関数は

$$V[R_p] = (\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\rho \sigma_1 \sigma_2) \left\{ x - \frac{ \sigma_2 ( \sigma_2 - \rho \sigma_1) }{ \sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2 \rho \sigma_1 \sigma_2 } \right\}^2 + \frac{ (1 - \rho)^2 \sigma_1^2 \sigma_2^2 }{ \sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2 \rho \sigma_1 \sigma_2 }$$

と表されます。

$x$の範囲は$0 \leq x \leq 1$であることから、最小値のとりうるパターンは三通りあります。 まずはこの二次関数の軸が$x \leq 0$である場合です。このとき

$$\frac{ \sigma_2 ( \sigma_2 - \rho \sigma_1) }{ \sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2 \rho \sigma_1 \sigma_2 } \leq 0$$

から$\rho \geq \sigma_2/\sigma_1$のとき、${\rm min}(V[R_p]) = \sigma_2^2$です。

次に二次関数の軸が$x \geq 1$であるとき、

$$\frac{ \sigma_2 ( \sigma_2 - \rho \sigma_1) }{ \sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2 \rho \sigma_1 \sigma_2 } \geq 1$$

から$\rho \geq \sigma_1 / \sigma_2$のとき、${\rm min}(V[R_p]) = \sigma_1^2$です。

最後に二次関数の軸が$0 < x < 1$にあるとき、

$$x = \frac{ \sigma_2 ( \sigma_2 - \rho \sigma_1) }{ \sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2 \rho \sigma_1 \sigma_2 }$$

で、最小値

$$V[R_p] = \frac{ (1 - \rho)^2 \sigma_1^2 \sigma_2^2 }{ \sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2 \rho \sigma_1 \sigma_2 }$$

を取ります。

※ 分母は常に正です。
$\because$

$$\begin{align*} \sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\rho \sigma_1 \sigma_2 &= \sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\sigma_1 \sigma_2 + 2\sigma_1 \sigma_2 - 2\rho \sigma_1 \sigma_2 \\[8pt] &= (\sigma_1 - \sigma_2)^2 + 2\sigma_1 \sigma_2 \underbrace{(1 - \rho)}_{\geq 0} \\ &\geq 0 \end{align*}$$

iii)

参考文献

リポジトリ

Footnotes

1. 統計学入門　東京大学教養学部統計学教室編 東京大学出版会 ↩