はじめに

この記事は統計学入門¹のを読んだことをまとめた振り返り記事です。

問題

$(i)$ コインの表、裏の確率を$p, q\, (q = 1 - p)$とする。これらのコイン$n$個を同時に投げとき、ちょうど一個だけが他の$n - 1$個と異なった結果（表、裏）となる確率$P$を求めよ。なお、$n \geq 3$とする。

$(ii)$ $n$人の人がいて、各自このコイン１個を同時に投げる操作を繰り返し、ちょうど1人だけが他の$n - 1$人と異なる結果となったとき、その人は定められた仕事（たとえば、皆のジュースを買いに行くなど）をするものとする。この方法で決まるまでの繰り返し数の期待値を求めよ。

解答

$(i)$

コインの裏表の確率が$1/2$じゃないことに注意しましょう。早とちりは厳禁です。さて、1人（A君としましょう）が表、残りの$n - 1$人が裏である確率は$p q^{n - 1}$です。逆も然りで、1人（A君としましょう）が裏で、残りの$n - 1$人が表である確率は$p^{n - 1} q$です。これらの事象は互いに排反な事象ですので、A君1人が$n - 1$人と異なる確率はこれらを足し合わせて

$$p q^{n - 1} + p^{n - 1} q$$

となります。一方、1人になる可能性はA君だけだけではありません。その選び方は$\binom{n}{1} = n$通りあります。よって、

$$P = n(p q^{n - 1} + p^{n - 1} q)$$

となります。

$(ii)$

このパシリ決めの試行回数を確率変数$X$とすると、これはある回数$x$でパシリが決まるとすると、$x-1$回目までパシリが決まらないということです。これはちょうど幾何分布を考えればよく、幾何分布の期待値は

$$E[X] = \frac{1}{P} = \frac{1}{n(p q^{n - 1} + p^{n - 1} q)}$$

となります。

参考

import kotlin.math.pow

fun prob(n: Int, p: Double, q: Double) = n * (p.pow(n - 1) * q + p * q.pow(n - 1))

val nList = (3..20).toList() // 人数 or コインの枚数のリスト 3以上

fun main() {
    val p = 0.3 // コインが表になる確率
    val q = 1.0 - p

    nList.forEach {
        println(
            String.format(
                "n=%2d:\tg=% .6f",
                it, prob(it, p, q)
            )
        )
    }
}

参考文献

リポジトリ

Footnotes

1. 統計学入門　東京大学教養学部統計学教室編 東京大学出版会 ↩